LÍMITES Y FUNCIONES

LÍMITES Y FUNCIONES      

Frecuentemente una función representa magnitudes asociadas a un fenómeno. En muchas ocasiones nos interesará conocer su comportamiento o tendencia cuando una de las magnitudes (variable independiente) se acerque a un valor concreto.

 

 

 

 

  

 PARA INTERROGARSE

 

El aumento lineal producido por una lupa viene dado por la  expresión A

Donde: d = distancia en dm a que ponemos el objeto de la lupa ; A = aumento del tamaño del objeto

Cuando el objeto se pone pegado a la lupa, se ve de su mismo tamaño: d = 0 ⇒ A = 1

Si vamos alejando el objeto de la lupa hasta llegar a 5 dm el tamaño aumenta:

d = 4,9 ⇒ A = 50 y d = 4,99 ⇒ A = 500

Al sobrepasar los 5 dm, la imagen se ve invertida y va disminuyendo:

d = 5,1 ⇒ A = - 50 y d = 5,2 ⇒ A = - 25

¿Qué ocurre cuando la lupa se pone exactamente a 5 dm?

 

 La noción de límite fue desarrollándose gradualmente, desde los primitivos griegos hasta que fue expresado por Newton en su obra capital. Estaba basada en la intuición geométrica. No podía ser de otra manera, ya que durante ese tiempo las ideas aritméticas y algebraicas estaban sólidamente basadas en las relativas a las magnitudes geométricas.

Cuando se deseaba ilustrar el concepto de límite, el ejemplo que venia inmediatamente a la imaginación era el de una circunferencia, definida como el límite de un polígono.

1.Polígonos regulares de muchos lados

 

2. Circunferencia: Límite de una sucesión infinita de polígonos cuyos lados tienden a cero

 

 

PARA SABER LEER Y COMPRENDER

 

Hay una variable natural que está constantemente cambiando, aparentemente de modo uniforme, y es el tiempo. Y a medida que el tiempo pasa todas las cosas cambian.

Cuando el hombre se hizo capaz de medir el cambio del tiempo de modo más o menos exacto, era natural que se le ocurriera tratar de medir cómo y cuánto cambian las cosas o, por lo menos, aquellas magnitudes de las cosas que se prestan a una medición adecuada.

La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV cuando los filósofos escolásticos medievales comenzaron a preocuparse por medir y representar gráficamente las variaciones de ciertas magnitudes como la velocidad de un cuerpo en movimiento.

Saber cómo influye un elemento sobre otro tiene grandes utilidades en muy diversos campos del conocimiento (economía, física, química, biología...) y las matemáticas nos dan las herramientas para analizar estas relaciones llamadas funciones.

Sobre un listón de madera ligeramente inclinado hacemos rodar una bola, dejándola caer desde la parte más alta, y medimos el espacio recorrido por la bola al pasar el tiempo. Para tomar mejor las medidas hemos trazado, sobre la barra, líneas cada 10 cm.

Los resultados son:

El movimiento se define como el cambio de posición de un cuerpo con el paso del tiempo, el espacio, o distancia recorrida por un cuerpo en un tiempo determinado, que nos permite 'ver' o calcular su velocidad.

 

la Velocidad media: Es el cociente entre el desplazamiento efectuado y el tiempo empleado.

 

 

Aceleración Media: Es el cociente entre la variación de la vector velocidad y el tiempo empleado.   

 

Existen distintos tipos de movimiento 



 Visionado de Movimiento acelerado y desacelerado
 

 

 PARA PRACTICAR

Estudiar las gráficas Espacio Tiempo

 



Gráfica 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Gráfica 2

 

 

 

 

 

Gráfica 3

 

 

 

 

 

PARA APLICAR

 

 

Estudiar las gráficas (4-8) Espacio Tiempo para el caso de dos móviles A y B

Grafica 4

 

 

 

Gráfica 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Grafica 6

 

Gráfica 7

 

Gráfica 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PARA RELACIONAR 

 

Visionado: Concepto de función con GeoGeobra

Visionado: Función derivada 

Relaciona los conceptos de los apartados anteriores con los conceptos matemáticos que se trabajan en GeoGebra y en el capítulo 4, Ecuaciones y Funciones, del libro, Fundamentos Matemáticos en la Naturaleza.

 

 

 

 PARA PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS 

 

Visionado:

 Paradoja de Zenón de Aquiles y la Tortuga    

                                                             

¿Qué relación existe entre este video y el planteamiento que se hace en el apartado 4.3 del capítulo 4, Ecuaciones y Funciones, del libro, Fundamentos Matemáticos en la Naturaleza? 

Plantear y resolver cuatro problemas variando el valor del parámetro a del video

 

PARA PENSAR MÁS

 

•  Identificar los contenidos matemáticos que se trabajan en este tema.  

• Enumerar, de los contenidos anteriores,  los que corresponden a Educación Primaria.

• Relación interdisciplinariedad: Relacionar las matemáticas con las otras áreas de conocimiento que se han tratado en este tema. 

• Estudiar las sucesiones



Torre de Hanoi

 

 

 

 

 

 

La Torre de Hanói

El juego consiste en tres pequeñas estacas clavadas en un tablero de madera, por las que pueden deslizarse unos anillos o arandelas, de manera que la inferior es la más ancha; la anchura de los anillos va disminuyendo gradualmente y, por tanto, la arandela superior es la más estrecha.

Todos los anillos, cuyo número puede elegirse arbitrariamente, se encuentran inicialmente en una de las estacas, y están dispuestos tal como se ha indicado.

Se trata de trasladarlos a otra estaca, moviéndolos de uno en uno y de manera que en ningún momento uno más ancho esté encima de otro más estrecho. La tercera estaca juega un papel auxiliar, para poder cumplir con este requisito.

Si el número de anillos es 2, puedes comprobar fácilmente que el número de movimientos necesarios es 3.

Veamos ahora qué ocurre cuando el número de anillos aumenta a 3. La siguiente serie de figuras nos lo indica con claridad, el número de movimientos necesarios ha sido 7

¿Cuántos movimientos son necesarios para cuando n es 4?

 Los pitagóricos se interesaron por la construcción de sucesiones infinitas. Consideraron, en particular, sucesiones de números originados jugando con piedras (cálculos), colocados, en forma de polígonos.

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                    

 

La suma de los n primeros términos consecutivos de una progresión geométrica es igual a la diferencia del último término por la razón menos el primero, dividido por la razón menos 1

 

Si una progresión geométrica es decreciente, es decir, r < 1, entonces an decrece y su valor se hace menor que cualquier número por pequeño que sea, es decir, an tiende a cero, por lo que la suma de los infinitos términos de la sucesión es:

 

Ejemplo1 : La suma de los términos de la progresión ilimitada: 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... es 16




 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo 2: La suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica 3, 6, 12, 24,... Por la expresión del término general calculamos el término a10: a10 = a1 · r9 = 3 · 29 = 1.536