LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA EN LAS CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA

¡EL AZAR  ES IMPREVISIBLE!

  En la naturaleza existen muchos experimentos de los que no podemos predecir el resultado, aun realizándolos bajo las mismas condiciones: son los experimentos aleatorios.

 La etimología de la palabra aleatorio: alea en latín significa suerte.

  

Ejemplo: al lanzar un dado desconozco su resultado antes de realizarlo.

 En la naturaleza existen otros experimentos llamados deterministas; son aquellos que al repetirlos en las mismas condiciones se obtiene el mismo resultado. Ejemplo: Si lanzo una piedra por la ventana caerá hasta llegar al suelo
 

 PARA INTERROGARSE

 

Dados los siguientes sucesos, identifica los que son aleatorios

1. Echar algunas gotas de ácido sobre un trozo de hierro

2. Lanzar una moneda

3. Calentar agua a 100ºC

4. Sacar una carta de una baraja

5. Respuesta en una encuesta

6. Soltar un objeto

 

 PARA SABER LEER Y COMPRENDER

Visionado: Experimentos Aleatorios y Espacio Muestral 

Espacio Muestral  (E)

Aunque no se conozca el resultado particular de un experimento aleatorio, sí es posible conocer el conjunto de todos los posibles resultados que se denomina Espacio Muestral (E).

 Cualquier subconjunto del espacio muestral es un suceso.

Tipos de sucesos

Un suceso es elemental cuando consta de un sólo elemento del espacio muestral, en caso contrario se llama suceso compuesto.

Ejemplo: La experiencia de lanzar un dado tiene seis sucesos elementales

 

Ejemplo: Al lanzar un dado, "Obtener un múltiplo de tres" es un suceso compuesto. 

Un suceso es seguro cuando siempre se da. Evidentemente debe contener todas los resultados posible de la experiencia, por lo que debe coincidir con el espacio muestral.

 

Ejemplo: Al lanzar una moneda el suceso seguro es sacar: cara o sacar cruz.

 

Dados dos sucesos de un experimento aleatorio, diremos que son compatibles si se pueden dar los dos al mismo tiempo, y diremos que son incompatibles en caso contrario.

 Ejemplo: Al lanzar un dado consideremos los sucesos "sacar par" y "sacar menor que cinco". Son compatibles, ya que si sacamos 2 ó 4 se estarán dando al mismo tiempo los sucesos A = { 2, 4, 6 } y B = { 1, 2, 3, 4}.

Al lanzar un dado consideremos los sucesos "sacar par" y "sacar uno o tres".  A = { 2, 4, 6 } y  B = { 1,  3}. Dado que no pueden ocurrir a la vez, son incompatibles
 Un suceso es imposible cuando no puede darse en el experimento. Se denota por ∅

Ejemplo: Al lanzar un dado normal, sacar un nueve es un suceso imposible.  

Dos sucesos son complementarios si siempre que ocurra uno, no se da el otro y al revés. Si denotamos por A a un suceso, su complementario será denotado por  A^C

 

Ejemplo: Al lanzar un dado el suceso contrario de: "sacar 2" = A = { 2 } es "no sacar 2" = A^C = { 1, 3, 4, 5, 6 }

OPERACIONES CON SUCESOS

UNIÓN: Ocurre el suceso A o el B: A∪B

 "sacar menor que tres" = A = { 1 , 2 }

"sacar mayor que cuatro" = B = { 5 , 6 }

  Entonces el suceso unión de A y B será:

A ∪ B = { 1 , 2 , 5 , 6 } = "sacar menor que 3 o mayor que 4" 

 

INTERSECCIÓN: Ocurren los sucesos A y B: A ∩B

En la expriencia "lanzar un dado", consideremos los sucesos
 "sacar menor que cuatro" = A = { 1 , 2 , 3 }
 

"sacar impar" = B = { 1 , 3 , 5 }

 Entonces: A ∩ B = { 1 , 3 } = "sacar menor que 4 e impar"

La probabilidad p(A) en una experiencia aleatoria es una aplicación que a cada suceso A le asigna un número real obtenido mediante el cociente entre el número de casos favorables y casos posibles.  

 

Y que verifica las siguientes propiedades:

1. La probabilidad de un suceso es mayor o igual que cero.
2. La probabilidad del suceso seguro es uno.
3. La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es la suma de sus probabilidades.

 

PARA PRACTICAR

Estudiar y clasificar los siguientes sucesos aleatorios 

 

a) En el experimento aleatorio al lanzar un dado con seis caras, hallar:

                El espacio muestral
                Los sucesos elementales C = { 1 },...
                Suceso A = "múltiplos de 3"  
                Suceso B = "números pares"  
                Suceso AUB  
                Suceso A∩B  
                ¿Los sucesos A y B son compatibles o incompatibles?

                Halla A^C = "no ser múltiplo de 3" 

b) Hallar el mismo estudio al lanzar un dado con forma de dodecaedro cuyas caras están numeradas del 1 al 12.  

 



 PARA APLICAR

 

Aplicar la formula de la P(A) de un suceso a los siguientes experimentos aleatorios:

1. De una urna que contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10 se extrae una bola. Consideremos los sucesos: A = “obtener número par”, B = “obtener un número mayor que siete” y C = “obtener un múltiplo de d” Calcular la probabilidad de los sucesos: A, B, C, A∩B, AUB, A∩C, B∩C, A∩B∩C.

 

 

2. Tenemos una baraja española con cuarenta cartas. Sacamos una carta. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) A = {sacar un rey} b) B = {sacar un as o un rey}

c) C = {sacar un oro} d) D = {sacar el as de espadas}

 

3. En una urna tenemos 3 bolas blancas, 4 bolas rojas, 5 bolas verdes y 1 bola negra. Extraemos una bola. Calcular la probabilidad de:

a) A = {extraer una bola blanca o negra}

b) B = {extraer una bola blanca o roja o verde}

 

PARA RELACIONAR

Video: Probabilidad con dados y espacio muestral

 

  Presentar, en forma gráfica, tres experimentos aleatorios, hallar los espacios muestrales correspondientes. Poner ejemplos de los tipos de sucesos que se han definido al comienzo de esta unidad.

 

  

PARA PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS 

Video:Probabilidad experimental

 

Plantear y resolver tres problemas de probabilidad. Expresar el resultado final en %.
El capítulo 6, Complejidad, del libro, Fundamentos Matemáticos en la Naturaleza: Leer contar y realizar los ejercicios.

  

 PARA PENSAR MÁS

• Identificar los contenidos matemáticos que se trabajan en esta unidad.  
• Enumerar, de los contenidos anteriores, los que corresponden a Educación Primaria.
• Relación interdisciplinariedad: Relacionar las matemáticas con las otras áreas de conocimiento que se han tratado en este tema. 
• Detalla tus conclusiones.